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仓库容量有限条件下的离散型随机存贮管理策略

1 引言

随机存贮管理问题是随机运筹学的一个重要分支, 本文中我们主要是研究销售速率随机的离散型存贮管理 (s, S) 策略以及订货后商品交货时间随机的离散型存贮管理策略。这两种情形具有更大普遍性和现实意义。

随机存贮管理是企业生产经营管理的一个重要环节, 是降低成本, 提高企业经济效益的有效途径和方法。有效的存贮管理策略起到调节供需余缺保证生产进行, 使总损失费用达到最低, 进而实现企业生产经营存贮管理的最优目标。文献[1]中建立了仓库容量无限制条件下的需求速率确定的典型存贮模型, 并给出了仓库容量无限制条件下的允许缺货的简单销售随机存贮模型;文献[2]-[6]着重给出了仓库容量有限条件下的不允许缺货和允许缺货的连续型销售存贮模型。

2 销售速率随机的离散型模型的建立与分析

记每次订货损失费为常数c1与商品的数量和品种无关;使用自己的仓库存贮商品时, 单位商品每周的存贮损失费用记为c2, 由于自己的仓库容量有限, 超出时需要使用租借的仓库存贮商品, 单位商品每周的存贮损失费用记为c3, 且c2≤c3;允许商品缺货, 但因缺货而减少销售要造成损失, 单位商品每周的缺货损失费用记为c4;每周的商品随机销售量的概率密度函数为p (r) ;一个销售周期为一周, 如有订货, 则在周末清点存货量后马上订货, 并在周一销售之前到货;自己的仓库用于存贮该商品的最大容量为S0, 再给一个下界s和一个上界S, 当周末清点时存货量I不少于s时就不订货, 当存货少于s时则订货, 并使得下周初的存货量达到S。决策者的任务是要确定使总损失费用C最小的s和S。

商品到货后, 首先将自己的仓库装满, 剩余的S-S0部分存入租借的仓库中, 而销售商品时, 首先销售租借仓库中的商品, 待销售完后, 再销售自己仓库中的商品。

下面我们把销售速率随机的离散型模型分三种情形讨论。

情形1当I<S<S0时, 可得在订货情况下和不订货情况下的总损失费用的期望值分别为

情形2当I<S0≤S时, 可得在订货情况下和不订货情况下的总损失费用的期望值分别为

情形3当S0≤I≤S时, 可得在订货情况下和不订货情况下的总损失费用的期望值分别为

先确定S*。由于本模型是离散型的, 不能用微分法, 只能用如下的差分法。定义:若△C (S) =C (S+1) -C (S) , 则称△C (S) 是C (S) 的差分。则S*=min{S|△C (S) ≥0且△C (S-1) ≤0}。

当I<S<S0时, 由情形1可得

令△C (S) ≥0且△C (S-1) ≤0, 有

若此时的S≥S0, 则此情形下S无解, 不用讨论, 进而只要讨论其它两种情形即可。若此时的S<S0, 则记S*1为满足 (1) 式的最小S, 其相对应的订货总损失费用记为C (S*1) 。易见, 当c2/c4越小, S*1越大, 这与实际情况相符。

当I<S0<S时, 由情形2可得

若此时的S<S0, 则此情形下S无解, 不用讨论, 进而只要讨论其它两种情形即可。若此时的S≥S0, 则记S*2为满足 (2) 式的最小S, 其相对应的订货总损失费用记为C (S*2) 。

当S0≤I≤S时, 由情形3可得与情形2相同。

现在我们就可以确定出S*了。显然S*1和S*2至少存在一个。当只有S*1存在时, S*=S*1;当只有S*2存在时, S*=S*2;当S*1和S*2都存在且C (S*1) ≤C (S*2) 时, S*=S*1;当S*1和S*2都存在且C (S*1) >C (S*2) 时, S*=S*2。

下面确定s, 我们注意到I是周末清点时的存货量, 当不再订货时, 不必付订货损失费用c1。这时对应的不订货总损失费用的期望值应该满足C (I) ≤C (S*) 。

当S*<S0时, 由情形1可知I应该满足

则此时s的最优值s*1, 应该是满足C (I) ≤C (S*) 的最小I。不妨记作

易见, 当c1=0, s*1=S*=S*1。这是很自然的, 因为既然订货不花钱, 当然使存贮量达到最优的数量S*最好。当c1>0, 从 (3) 式总可以找到一个s*1值。

当S0≤S*, 有如下两种情形, 且至少有一种情形I有解。由情形2可知当I<S0≤S*时, I应该满足

如果此情形I无解, 则直接考察情形3, 否则此时s的最优值s*2, 应该是满足C (I) ≤C (S*) 的最小I。不妨记作

当此情形I有解时, 从 (4) 式总可以找到一个s*2值。

由情形3可知当S0≤I≤S*时, I应该满足

此时s的最优值 (仍记为s*2) , 应该是满足C (I) ≤C (S*) 的最小I。不妨记作

当此情形I有解时, 从 (5) 式总可以找到一个s*2值。

综上, 当S*满足S*<S0时, 得到了在仓库容量有限条件下允许缺货的离散型随机销售存贮管理 (s*, S*) 策略, 即 (s*1, S*1) 策略;当S*满足S0≤S*时, 得到了在仓库容量有限条件下允许缺货的离散型随机销售存贮管理 (s*, S*) 策略, 即 (s*2, S*2) 策略。

3 交货时间随机的离散型模型的建立与分析

本节研究仓库容量有限条件下交货时间为离散型随机变量时的存贮管理问题所对应的使日均总损失费用达到最低的最优订货点L*的数学模型。记每次订货损失费为常数c1与商品的数量和品种无关;使用自己的仓库存贮商品时, 单位商品每天的存贮损失费用记为c2;由于自己的仓库容量有限, 超出时需要使用租借的仓库存贮商品, 单位商品每天的存贮损失费用记为c3, 且c2≤c3;允许商品缺货, 但因缺货而减少销售要造成损失, 单位商品每天的缺货损失费用记为c4;并设商品的销售速率r是不变的;每次订货时商品在x天后到达, 交货时间x是随机的, 且满足非负整数离散型概率分布函数p (x) , 记E (x) 为交货时间x的数学期望;T记为商品的销售周期 (即从存贮量为Q时刻到下一个存贮量为Q时刻的间隔天数) ;自己的仓库用于存贮商品的最大容量为Q0, 每次到货后使商品的存贮量q补充到固定值Q为止, 且Q0<Q;在销售过程中每当存贮量q降到L时即开始订货。由于交货时间x和销售周期T为非负整数, 是离散型的, 不可能象连续型模型那样使用积分公式。所以除了在第2节中给出的符号说明外, 我们还给出如下公式及符号说明。

t1=rQ-L, t2=rQ-Q0, t3=rQ, E (x) =xΣxp (x) , t1'=「t1骎, t2'=「t2骎, t3'=「t3骎, T=「t1骎+「E (x) 骎, CT=TCT=Tc1+β+γ